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Voici un recueil de problèmes de difficulté croissante (indiquée par des astérisques, de * à ****). Les solutions ne sont pas publiées : pour les obtenir, il faut en faire la demande via le formulaire de contact du site.

1. (*) Dans un village de Chine, chaque famille possède un, deux ou trois vélos. On constate que le nombre de familles possédant un seul vélo est égal au nombre de familles possédant trois vélos exactement. Sachant qu’il y a 33 familles au sein de ce village, combien y a-t-il de vélos au total ? (Source : Le Monde)
2. (*) Mr et Mme Macron reçoivent 4 couples d’amis à dîner. Les invités et les hôtes se saluent par des poignées de main. À un moment, Mr Macron interrompt le protocole et s’exclame : « Dites-moi chacun combien de personnes avez-vous salué ? » Il obtient 9 réponses différentes. Qui est Mme Macron ? (Source : entretiens de recrutement chez Intel Israel)
3. (*) Quel est le plus petit entier positif dont l’inverse admet une partie décimale de période 5 ?
4. (*) Par combien de 0 le nombre 1000! se finit-il ?
5. (**) Montrez que de tout ensemble de N entiers, on peut extraire un ensemble de p d’entre eux dont la somme est divisible par N. Ex : 3, 5, 5, 6 ; N = 4, P = 3 et 5 + 5 + 6 = 16 est divisible par 4.
6. (**) À partir d’une feuille rectangulaire de dimension quelconque, marquer un angle de 60 degrés à l’aide de deux plis exacts. (Source : équipe mathématique chez Dassault Systèmes)
7. (***) Soit F une bijection des entiers (N) dans les entiers (N). Existe-t-il un nombre entier A et une bijection G de N dans N dépendant de F tels que : pour tout n de N, G(n) − G(F(n)) < A ?
8. (***) Quel est le plus gros cube qu’on puisse inscrire à l’intérieur d’un cube de côté a et tel que les sommets du cube intérieur touchent tous une face du cube extérieur ? (Source : équipe mathématique chez Dassault Systèmes)
9. (***) Montrer que de tout ensemble de N points (N > 1) non alignés on peut extraire au moins un couple de points tel que la droite qui les joint ne passe par aucun autre point.
10. (****) Pour tout entier strictement positif n, on note d(n) le nombre de diviseurs de n, 1 et n compris. Quels sont tous les entiers k pour lesquels il existe un entier n qui vérifie k = d(n²)/d(n) ? (Source : Olympiades de mathématiques 1998)
11. (****) Pour un entier n, on note σ(n) la somme des chiffres qui le composent en base 10. Que vaut σ(σ(4444⁴⁴⁴⁴)) ?
12. (****) Soit a un nombre réel non nul. On considère la suite b(n) = aⁿ + a⁻ⁿ.
    1. Montrer que si trois termes consécutifs b(n), b(n+1) et b(n+2) sont entiers, alors tous les termes de la suite sont entiers.
    2. Montrer que si deux termes consécutifs b(n) et b(n+1) sont entiers, alors tous les termes de la suite sont entiers.
13. (****) On dispose de 2n boules numérotées : 1, 1, 2, 2, 3, 3, …, n, n. Quels sont les entiers n pour lesquels il existe une disposition alignée de ces boules telle que k boules se trouvent entre les deux boules k ? Ex : pour n = 3 : (3), (1), (2), (1), (3), (2). Pour de tels n, combien y a-t-il d’alignements distincts ? (Source : La Recherche)