Énoncé
S et N sont deux entiers strictement positifs. Quel est le nombre r(N, P) de solutions de l’équation
a1 + a2 + ⋯ + ak + ⋯ + aN = S,
où les N inconnues sont des entiers positifs ou nuls ?
Afficher le corrigé
La démonstration directe n’est pas aisée du tout ; une reformulation du problème et une représentation graphique donnent immédiatement la solution :
r(N, P) = (N + P − 1)! / [ S! (N − 1)! ]
Cette équation diophantienne est équivalente à la recherche du nombre de manières de ranger S boules identiques dans N boîtes. Par exemple, pour S = 8 et N = 3 : 4 + 3 + 1 = 8.
Les S boules sont représentées par S gros points et les N boîtes par (N − 1) traits verticaux. Une solution est représentée par une permutation possible des (N − 1) traits et des S points.
Il y a (N + P − 1)! permutations de ces objets, mais on ne change rien à une solution si on permute les traits entre eux ou les points entre eux. Il y a (N − 1)! × P! permutations de ce genre, d’où la solution.