La dynastie des bricoleurs fous

Le jeune Maw Houelle est passionné d’électricité ; sa dernière trouvaille est le circuit de trois résistances ci-dessous, qu’il nomme cellule symétrique en T, pour une raison que lui seul connaît.

Il en fabrique beaucoup et les assemble en série, c’est-à-dire qu’il joint les points C et D d’une cellule donnée aux points respectivement A et B de la cellule suivante.

Un exemple d’assemblage de trois cellules, fermé sur une résistance de terminaison.

Le 31 décembre 2018, il en met 2018 bout à bout et ferme le circuit par une résistance de terminaison, de valeur x, insérée entre les points C et D de la cellule numéro 2018.

Il mesure alors la résistance entre les points A et B de la cellule numéro 1 et, à sa surprise, il trouve … x.

Le lendemain, 1^er janvier 2019, il ajoute une cellule à l’ensemble, qui en compte donc maintenant 2019, la dernière cellule étant toujours fermée par la résistance de valeur x. Il retrouve alors que la résistance entre les points A et B de la première cellule garde la même valeur, x.

Émerveillé et intrigué, il s’en ouvre à sa mère, Farah Day, qui lui confie : « Comme c’est étonnant, j’avais fait la même expérience quand j’avais ton âge, le 31 décembre 1993 avec 1993 cellules puis le 1^er janvier 1994 avec 1994 cellules. J’avais exactement le même circuit que le tien et, à deux reprises, j’ai aussi trouvé x. »

Sur ces entrefaites, arrive le grand-père, Tom Sohn, à qui l’on raconte l’histoire et qui en est éberlué : « Il y a longtemps, affirme-t-il, je jouais avec les mêmes cellules et avec les mêmes règles : 1958 et 1959 dans mon cas ; la résistance entre les points A et B de la première cellule, avant et après ajout d’une cellule, gardait la même valeur x. »

La grand-mère, Pam Dirac, qui n’avait rien perdu de ces effarements, jette alors, négligemment : « Ces résultats itératifs n’ont rien de surprenant, le seul hasard heureux est celui qui vous a fait choisir les valeurs de résistances conduisant à de telles propriétés. Considérez, pour le voir, pour 0 < a < 1, la fonction f : x ↦ f(x) = (x + a)/(ax + 1) ; n’est-il pas immédiat que f(1) = 1 ? »

Pam a toujours été énigmatique, aux limites de l’insaisissable. Pouvez-vous, sinon la décoder, au moins aider Maw, Farah et Tom ?