Énoncé
Lundi ; 8h37.
Le jour et l’heure sont propices.
Le Moine, dans la vallée, prend l’unique chemin qui le conduira au sommet de la Montagne Sacrée.
Il marche tantôt vite et tantôt lentement, tantôt vers le haut et tantôt vers le bas ; il s’arrête et il repart ; il musarde et le voici enfin arrivé tout en haut. La durée de l’ascension est t1.
Le moine séjourne au sommet de la Montagne le temps de purifier son âme et un certain lundi, à 8h37, il repart.
À nouveau, il marche tantôt vite et tantôt lentement, tantôt vers le haut et tantôt vers le bas ; il s’arrête et il repart ; il musarde et le voici enfin arrivé tout en bas. Les deux trajets sont parcourus de manière totalement différente. La durée de la descente est t2.
Le moine constate alors qu’il y a au moins un point du chemin par lequel il est passé exactement à la même heure et à la même minute (soit au même instant à quelques semaines près), aussi bien à l’aller qu’au retour.
Un bref instant de réflexion le conduit à la conclusion que cette coïncidence n’est pas le fait d’un hasard heureux, mais la conséquence d’un théorème de mathématiques, évident dans sa formulation et délicat dans sa démonstration (il n’est pas au programme des CPGE).
Quel est l’argument de ce savant moine ? On pourra admettre le théorème sans chercher à le démontrer, sauf si l’on est Camille Jordan. Dans ce cas, un simple dessin suffira pour la démonstration.
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La partie gauche de la figure ci-dessus représente le diagramme temps-altitude des trajets du moine : l’aller, semaine n, est en rouge et la descente, semaine n + p, en bleu.
Représentations : à gauche de la situation initiale et à droite d’une situation équivalente.
Pour la question posée, la situation donnée est équivalente à la situation où deux moines partiraient au même instant, l’un à partir du haut et vers le bas (trajet BA dans le schéma de droite de la figure), l’autre à partir du bas vers le haut (trajet OC).
Comme le chemin est commun et unique, les deux moines, le réel et le fictif, se croisent, obligatoirement, tout comme deux personnes allant à la rencontre l’une de l’autre sur le même trottoir unidimensionnel.
Dans la figure, le choix inessentiel t2 < t1 a été fait ; l’important est que toute courbe suffisamment régulière allant de O à C coupe nécessairement toute courbe suffisamment régulière allant de B à A. Cette évidence est une formulation pittoresque du théorème des arcs, de Jordan.
Une version à peine plus élaborée de ce théorème serait ceci :
Par une opération simple, on peut transformer le circuit curviligne OAB en cercle. De la même manière, une autre opération simple transforme la courbe rouge joignant les points O et C en segment de droite.
Le point O est à l’intérieur du cercle et le point C à l’extérieur. Tout segment joignant un point intérieur à un cercle à un point extérieur à ce dernier coupe ce cercle. La preuve est faite.
La première difficulté du théorème est dans la définition de ce qui a été nommé ci-dessus suffisamment régulière et opération simple. C’est un objet de l’homotopie.