La partie gauche de la Figure ci-après représente le diagramme temps-altitude des trajets du moine : l’aller, semaine n, est en rouge et la descente, semaine n + p, en bleu.

Représentations : à gauche de la situation initiale et à droite d’une situation équivalente.

Pour la question posée, la situation donnée est équivalente à la situation où deux moines partiraient au même instant, l’un à partir du haut et vers le bas (trajet BA dans le schéma de droite de la figure), l’autre à partir du bas vers le haut (trajet OC).

Comme le chemin est commun et unique, les deux moines, le réel et le fictif, se croisent, obligatoirement, tout comme deux personnes allant à la rencontre l’une de l’autre sur le même trottoir unidimensionel.

Dans la figure, le choix inessentiel t2 < t1 a été fait ; l’important est que toute courbe suffisamment régulière allant de O à C coupe nécessairement toute courbe suffisamment régulière allant de B à A. Cette évidence est une formulation pittoresque du Théorème des arcs, de Jordan.

Une version à peine plus élaborée de ce théorème serait ceci :

Par une opération simple, on peut transformer le circuit curviligne OAB en cercle. De la même manière, une autre opération simple transforme la courbe rouge joignant les points O et C en segment de droite.

Le point O est à l’intérieur du cercle et le point C à l’extérieur. Tout segment joignant un point intérieur à un cercle à un point extérieur à ce dernier coupe ce cercle. La preuve est faite.

La première difficulté du théorème est dans la définition de ce qui a été nommé ci-dessus suffisamment régulière et opération simple. C’est un objet de l’homotopie.